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Gibt es eine Rotationsträgheit des Sonnensystems als eine Einheit "Scheibe"? Ist das überhaupt möglich?
Der Drehimpuls eines Mehrpunktsystems im Sonnensystem - Da die verschiedenen Planeten unterschiedliche Massen und Umlaufzeiten haben, entsteht dann Drehimpuls, Trägheit im System?
Wie kann ein Planet durch seine individuelle Rotation einen anderen Planeten im System beeinflussen?
Zeigt das Sonnensystem eine Starrkörperrotation aus der über Planeten verteilten Masse?
Die planetarische Ausrichtung des Sonnensystems löst Gezeiten und Erdbeben aus
Diese Forschung stellt die Hypothese auf, dass Gezeiten und Erdbeben durch die Planetenpositionen des Sonnensystems induziert werden, da die planetarische Anziehung als Triggerkraft wirkt, die die Geschwindigkeit der Erdrotation ändert. Das Auftreten einer Meeresflut ist nur eine Folge einer relativen Verlangsamung der Rotations-/Umlaufgeschwindigkeit der Erde, die die Erdplatten in Bewegung setzt. Die Forschung umfasste die Analyse von Erdbebendaten für die gesamte Erde im Juli 2019 mit einer Fallstudie zur Seismizität der Arabischen Platte (AP), einschließlich des Zagros Folded Belt (ZFB) und der Zagros Thrust Zone (ZTZ) als seismischer aktiver Gürtel in der nördlichen Hemisphäre included . Die Rotationsgeschwindigkeit der Erde wurde für acht seismische Ereignisse berechnet, und es stellte sich heraus, dass die Geschwindigkeit in jedem Fall unterschiedlich war. Zwischen Erdbeben und der Erdrotationsgeschwindigkeit wurde ein negativer Anteil gefunden. Während der Konfiguration von Jupiter und Saturn in einer geraden Linie mit der Erde im Juli 2019 wurden weltweit eintausendsiebenunddreißig Erdbeben mit 2-6 Magnituden statistisch analysiert. Rotations-/Drehgeschwindigkeit, Drehimpuls und Rotationsträgheit kinetische Energie potentielle Gravitationsenergie der Erde am Äquator und bei 45 Grad wurden berechnet, um zu zeigen, wie die Rotationsgeschwindigkeit Platten auslöst. Planeten interagieren miteinander und beeinflussen Erdbeben über die Gravitationsspannungen, die sich aus der Konfiguration der Planeten des Sonnensystems ergeben, die eine Verlangsamung der Rotationsgeschwindigkeit der Erde verursachen. Dies stimuliert die Erdplatte, sich zu bewegen und aufgrund der Aktivierung von Verwerfungen ein Erdbeben zu erzeugen.
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Die Drehimpulse von Sonnensystemkörpern: Implikationen für die Stärke von Asteroiden
Der Drehimpuls H aufgetragen gegen Masse M für die Planeten und für alle Asteroiden mit bekannten Rotationsraten und Formen, hauptsächlich übernommen von D. C. McAdoo und J. A. Burns [Ikarus 18, 285–293 (1973)]. Der Drehimpuls eines Asteroiden wird aus seiner Rotationsrate abgeleitet, die durch die Periode seiner Lichtkurve bestimmt wird, seiner Form, die durch die Lichtkurvenamplitude angezeigt wird, und, wenn möglich, seiner Größe, die durch Polarimetrie oder Radiometrie angegeben wird. Es wird angenommen, dass sich der Asteroid um seine Achse des maximalen Trägheitsmoments dreht. Wie zuvor von F. F. Fish [Ikarus 7, 251–256 (1967) und W. K. Hartmann und S. M. Larson [Ikarus 7, 257–260 (1967)], H ist ungefähr proportional zu M 5 3 , was zeigt, dass sich die Asteroiden und die meisten Planeten mit fast der gleichen Geschwindigkeit drehen. Die kleinsten Asteroiden auf dem Diagramm weichen von der obigen Reaktion ab und enthalten normalerweise einen Überschuss an Drehimpuls. Dies deutet darauf hin, dass Kollisionen einen erheblichen Drehimpuls auf die kleinsten Asteroiden übertragen haben, was möglicherweise dazu führt, dass ihre inneren Spannungszustände durch Zentrifugaleffekte wesentlich modifiziert werden.
Die durch die Gravitation erzeugten Kräfte werden dann mit Zentrifugaleffekten für ein rotierendes, dreiachsiges Ellipsoid der Dichte 3 g cm −3 verglichen. Für alle Asteroiden mit bekannten Eigenschaften wird gezeigt, dass die Gravitationsanziehung größer ist als die Zentrifugalbeschleunigung eines Teilchens auf der Oberfläche: die beobachteten Asteroiden-Regolithe sind also gravitativ gebunden. Die Poissonsche Gleichung für das Gravitationspotential wird untersucht und es wird durch mathematische und physikalische Argumente gezeigt, dass jedes beliebig geformte Ellipsoid mit der oben gefundenen anziehenden Oberflächenkraft-Randbedingung nur anziehende innere Kräfte hat. Daher sind die inneren Spannungszustände in Asteroiden immer kompressiv, so dass Asteroiden intern gebrochen werden können, ohne ihre Integrität zu verlieren.
Entwicklung der Erde
9.09.1 Polarbewegung und Tageslängenvariationen durch (geologische) Zeit
Beobachtungen des sich entwickelnden Zustands der planetaren Rotation zeigen das Auftreten von Variabilität auf Zeitskalen, die von täglich über jährlich bis hin zu zwischenjährlich, dekadisch und tausendjährig reichen und sich sogar auf die Zeitskala von Hunderten von Millionen Jahren erstrecken, auf der der Prozess der Mantelkonvektion die planetarische bestimmt Evolution und bis zum Alter von 4,56 Milliarden Jahren des Planeten selbst. Diese Variationen des Rotationszustandes werden am sinnvollsten in Form von Änderungen der Planetenrotationsrate um die momentane Spinachse und damit Variationen in der Tageslänge einerseits oder in Bezug auf das Taumeln des Spins diskutiert Achse, wie sie in einem körperfesten Bezugssystem beobachtet wird. Auf relativ kurzen unterjährigen bis jährlichen Zeitskalen wurde deutlich gezeigt, dass Variationen der Tageslänge hauptsächlich als Folge des Drehimpulsaustausches zwischen der festen Erde und ihrer darüber liegenden Atmosphäre (z. B. Hide et al., 1980) und den Ozeanen auftreten arise . Auf der zwischenjährlichen Zeitskala war eine wichtige neuere Entdeckung bezüglich der Tageslängenvariabilität (lod) die Dokumentation einer signifikanten Erregung im Zusammenhang mit El Niño Southern Oscillation (ENSO)-Ereignissen (Cox und Chao, 2002 Dickey et al., 2002). . Was die Quellen der Wobble-Anregung betrifft, so ist klar, dass auf der Zeitskala des jahreszeitlichen Klimawechsels die Anregung der jährlichen Komponente der Wobble-Variabilität auf den interhemisphärischen Austausch atmosphärischer Masse zurückzuführen ist. Das Chandler-Wobble hingegen, eine freie Schwingung der Rotationsachse der Erde in einem körperfesten Bezugssystem mit einer Periode von fast 14 Monaten, wird offenbar maßgeblich durch den dynamischen Zustand der Ozeane erzwungen (z. B. Gross, 2000). und von der Atmosphäre. Diese jüngsten Analysen des Problems der Chandler-Wobble-Erregung, auf die im Folgenden eingegangen werden soll, scheinen das jahrzehntelang ungelöste Problem endgültig gelöst zu haben.
Auf der längeren Zeitskala von Jahrtausenden weisen diese beiden „Anomalien“ in der Erdrotation offensichtliche säkulare Variationen auf, die hauptsächlich durch den spätpleistozänen Zyklus der Vereisung und Deglaziation (Peltier, 1982) verursacht werden, der ein dauerhaftes Merkmal des Klimasystems war Variabilität für die letzten 900 000 Jahre Erdgeschichte (zB Deblonde und Peltier, 1991). Ein Hauptaugenmerk der in diesem Kapitel folgenden Diskussion liegt auf der Art und Weise, in der durch den Prozess der glazialen isostatischen Anpassung (GIA) diese durch die Eiszeit hervorgerufenen Variationen der Erdrotation auf den relativen Meeresspiegel nach der Eiszeit zurückwirken Geschichte und ermöglicht so detaillierte Tests der Qualität der Theorie, die entwickelt wurde, um die Rotationsantwort auf den GIA-Prozess zu berechnen ( Peltier, 2005 ). Die Bedeutung einer genauen Zuschreibung der Erregungsquelle der beobachteten säkularen Veränderungen im l.o.d. und Polarbewegung für den GIA-Prozess betrifft die wichtige Rolle, die diese Beobachtungen bei der Schlussfolgerung der Viskosität der tiefen Erde spielen können, einem Parameter, der für die Konstruktion von Modellen der Mantelkonvektion und der Kontinentaldriftprozesse erforderlich ist.
Ein interessanter zusätzlicher Aspekt der Geschichte der Erdrotation auf der Zeitskala des spätpleistozänen Eiszeitzyklus betrifft die Art und Weise, wie zeitliche Variationen der Präzessions- und Schiefheitskomponenten der sich entwickelnden Geometrie der Erdumlaufbahn um die Sonne , durch Gravitation gezwungen nein-Körpereffekte im Sonnensystem, wurden verwendet, um das Timing des Eiszeitzyklus selbst zu verfeinern (Shackleton et al., 1990).
Auf den längsten Zeitskalen, auf denen die thermische Entwicklung des Planeten durch den Mantelkonvektionsprozess bestimmt wird, besteht auch die deutliche Möglichkeit, dass relativ schnelle und große Amplitudenänderungen des Rotationszustands in Verbindung mit einem „Lawineneffekt“ während wobei sich der Stil der konvektiven Zirkulation des Mantels von einer, die durch eine signifikante radiale Schichtung der thermisch erzwungenen Strömung gekennzeichnet ist, zu einer Form des "ganzen Mantels" ändert (zB Solheim und Peltier, 1994a,b). Dieser Prozess könnte möglicherweise so wirken, dass er die Trägheitsaustausch-True Polar Wander (IITPW)-Instabilität induziert, die ursprünglich von Gold (1955) vorgeschlagen und kürzlich von Kirschvink et al. (1997) als plausibel im frühen Kambrium der Erdgeschichte aufgetreten.
Abbildung 1 liefert eine schematische Darstellung der extrem breiten Palette von Prozessen, die zur Anregung von Variationen der Erdrotation auf allen Zeitskalen beitragen. Die Tausendfüßler in der Skizze sollen in Anlehnung an die farbenfrohe Analogie von Gold (1955) durch ihre Fähigkeit, sich über die Oberfläche zu bewegen und dabei den Trägheitstensor des Planeten langsam (?) Reaktion aufgrund der Wirkung des konvektiven Mischprozesses des Innenmantels. Wie diese Komponente der Rotationsanregung am genauesten beschrieben werden könnte, ist noch immer umstritten, wie im letzten Abschnitt dieses Kapitels diskutiert wird.
Abbildung 1 . Schematische Darstellung, die die Bandbreite der Prozesse veranschaulicht, die zur Anregung von Variationen im Rotationszustand des Planeten beitragen. Die Tausendfüßler in der Abbildung, die eine Modifikation der Käfer sind, die von Gold (1955) zu demselben illustrativen Zweck verwendet wurden, sollen den Beitrag zur Rotationserregung durch den Mantelkonvektionsprozess darstellen. Dieses Schema ist eine Modifikation des Papiers von Lambeck (1980a), das den wichtigen Artikel von Hide et al. (1980).
11.4: Erhaltung des Drehimpulses
- Beigetragen von OpenStax
- Allgemeine Physik bei OpenStax CNX
- Wenden Sie die Drehimpulserhaltung an, um die Winkelgeschwindigkeit eines rotierenden Systems zu bestimmen, in dem sich das Trägheitsmoment ändert
- Erklären Sie, wie sich die kinetische Rotationsenergie ändert, wenn sich sowohl das Trägheitsmoment als auch die Winkelgeschwindigkeit eines Systems ändern
Bisher haben wir uns den Drehimpuls von Systemen aus Punktteilchen und starren Körpern angesehen. Wir haben auch die beteiligten Drehmomente analysiert, indem wir den Ausdruck verwendet haben, der das externe Nettodrehmoment mit der Änderung des Drehimpulses in Beziehung setzt. Beispiele für Systeme, die dieser Gleichung gehorchen, sind ein frei drehender Fahrradreifen, der aufgrund von Reibungsmomenten mit der Zeit langsamer wird, oder die Verlangsamung der Erdrotation über Millionen von Jahren aufgrund von Reibungskräften, die auf Gezeitendeformationen ausgeübt werden.
Angenommen, es gibt kein äußeres Nettodrehmoment auf dem System, (sum vec< au>) = 0. In diesem Fall können wir das Drehimpulserhaltungssatz.
Gesetz der Erhaltung des Drehimpulses
Der Drehimpuls eines Teilchensystems um einen Punkt in einem festen Trägheitsbezugssystem bleibt erhalten, wenn um diesen Punkt kein äußeres Nettodrehmoment vorhanden ist:
[vec
Beachten Sie, dass der Gesamtdrehimpuls (vec Als Beispiel für die Erhaltung des Drehimpulses zeigt Abbildung (PageIndex<1>) einen Eisläufer, der eine Drehung ausführt. Das Nettodrehmoment auf ihr ist sehr nahe Null, da es relativ wenig Reibung zwischen ihren Schlittschuhen und dem Eis gibt. Außerdem wird die Reibung sehr nahe am Drehpunkt ausgeübt. Sowohl (|vec
wobei sich die grundierten Größen auf Zustände beziehen, nachdem sie ihre Arme eingezogen und ihr Trägheitsmoment reduziert hat. Da I&prim kleiner ist, muss die Winkelgeschwindigkeit (omega)&prim ansteigen, um den Drehimpuls konstant zu halten. Abbildung (PageIndex<1>): (a) Eine Schlittschuhläuferin dreht sich mit ausgestreckten Armen auf der Spitze ihres Schlittschuhs. Ihr Drehimpuls bleibt erhalten, da das Nettodrehmoment an ihr vernachlässigbar klein ist. (b) Ihre Spinrate nimmt stark zu, wenn sie ihre Arme einzieht, was ihr Trägheitsmoment verringert. Die Arbeit, die sie verrichtet, um ihre Arme einzuziehen, führt zu einer Erhöhung der kinetischen Rotationsenergie. Es ist interessant zu sehen, wie sich die kinetische Rotationsenergie der Skaterin ändert, wenn sie ihre Arme einzieht. Ihre anfängliche Rotationsenergie ist wohingegen ihre endgültige Rotationsenergie Da I&prime(omega)&prime = I(omega), können wir (omega)&prime ersetzen und finden and [K'_ Da ihr Trägheitsmoment abgenommen hat, (I&prime < I), hat sich ihre endgültige kinetische Rotationsenergie erhöht. Die Quelle dieser zusätzlichen kinetischen Rotationsenergie ist die Arbeit, die erforderlich ist, um ihre Arme nach innen zu ziehen. Beachten Sie, dass sich die Arme des Skaters nicht in einem perfekten Kreis bewegen, sondern sich spiralförmig nach innen drehen. Diese Arbeit bewirkt eine Erhöhung der kinetischen Rotationsenergie, während ihr Drehimpuls konstant bleibt. Da sie sich in einer reibungsfreien Umgebung befindet, entweicht keine Energie dem System. Wenn sie also ihre Arme in ihre ursprüngliche Position ausstrecken würde, würde sie sich mit ihrer ursprünglichen Winkelgeschwindigkeit drehen und ihre kinetische Energie würde auf ihren ursprünglichen Wert zurückkehren. Das Sonnensystem ist ein weiteres Beispiel dafür, wie die Drehimpulserhaltung in unserem Universum funktioniert. Unser Sonnensystem wurde aus einer riesigen Gas- und Staubwolke geboren, die ursprünglich Rotationsenergie hatte. Gravitationskräfte führten dazu, dass sich die Wolke zusammenzog und die Rotationsrate durch die Erhaltung des Drehimpulses erhöht wurde (Abbildung (PageIndex<2>)). Abbildung (PageIndex<2>): Das Sonnensystem verschmolz aus einer ursprünglich rotierenden Gas- und Staubwolke. Die Bahnbewegungen und Spins der Planeten sind in die gleiche Richtung wie der ursprüngliche Spin und erhalten den Drehimpuls der Mutterwolke. (Kredit: Änderung der Arbeit durch die NASA) Wir setzen unsere Diskussion mit einem Beispiel fort, das Anwendungen in der Technik hat. Beispiel (PageIndex<1>): Gekoppelte Schwungräder Ein Schwungrad dreht sich reibungsfrei mit einer Winkelgeschwindigkeit (omega_<0>) = 600 U/min auf einer reibungsfreien, senkrechten Welle mit vernachlässigbarer Drehträgheit. Darauf fällt ein zweites Schwungrad, das ruht und das dreifache Trägheitsmoment des rotierenden Schwungrades hat (Abbildung (PageIndex<3>)). Da zwischen den Oberflächen Reibung herrscht, erreichen die Schwungräder sehr schnell die gleiche Rotationsgeschwindigkeit und drehen sich dann zusammen. Teil (a) ist einfach nach der Winkelgeschwindigkeit des gekoppelten Systems aufzulösen. Wir verwenden das Ergebnis von (a), um die anfängliche und die endgültige kinetische Energie des Systems in Teil (b) zu vergleichen. Bedeutung Da die Rotationsträgheit des Systems zunahm, nahm die Winkelgeschwindigkeit ab, wie aus dem Drehimpulserhaltungssatz erwartet. In diesem Beispiel sehen wir, dass die kinetische Endenergie des Systems abgenommen hat, da Energie an die Kopplung der Schwungräder verloren geht. Vergleichen Sie dies mit dem Beispiel der Skaterin in Abbildung (PageIndex<1>), die ihre Arme nach innen bringt und kinetische Rotationsenergie hinzufügt. Ein Karussell auf einem Spielplatz dreht sich mit 4,0 U/min. Drei Kinder springen auf und erhöhen das Trägheitsmoment des Karussells/Kinderdrehsystems um 25 %. Wie hoch ist die neue Rotationsrate? Beispiel (PageIndex<2A>): Abstieg von einem hohen Balken Ein 80,0 kg schwerer Turner steigt von einem Reck ab. Er beginnt den Abstieg mit voller Streckung, dann zieht er sich ein, um eine Reihe von Umdrehungen zu vollenden, bevor er landet. Sein Trägheitsmoment im voll ausgefahrenen Zustand kann als Rute mit einer Länge von 1,8 m angenähert werden und in der Tuck eine Rute von der halben Länge. Wenn seine Rotationsgeschwindigkeit bei voller Streckung 1,0 U/s beträgt und er in die Tuck einsteigt, wenn sich sein Schwerpunkt auf 3,0 m Höhe befindet und sich horizontal zum Boden bewegt, wie viele Umdrehungen kann er dann ausführen, wenn er in 1,8 m Höhe aus der Tuck kommt ? Siehe Abbildung (PageIndex<4>). Abbildung (PageIndex<4>): Ein Turner steigt von einer Reckstange ab und führt eine Reihe von Umdrehungen in der angezogenen Position aus, bevor er aufrecht landet. Unter Verwendung der Erhaltung des Drehimpulses können wir seine Rotationsrate finden, wenn er in der Tuck liegt. Mit den Gleichungen der Kinematik können wir das Zeitintervall von einer Höhe von 3,0 m bis 1,8 m ermitteln. Da er sich horizontal zum Boden bewegt, vereinfachen sich die Gleichungen des freien Falls. Dadurch kann die Anzahl der ausführbaren Umdrehungen berechnet werden. Da wir ein Verhältnis verwenden, können wir die Einheiten als U/s beibehalten und müssen nicht in Radiant/s umgerechnet werden. Das Trägheitsmoment bei voller Streckung ist [I_ <0>= frac<1> <12>mL^ <2>= frac<1> <12>(80.0 kg)(1.8 m)^ <2 >= 21,6 kg cdotp m^ <2>ldotp
onumber] Das Trägheitsmoment im Einschlag ist [I_
Drehimpulserhaltung: [I_ Zeitintervall im Tuck: [t = sqrt In 0,5 s wird er zwei Umdrehungen mit 4,0 U/s ausführen können. Bedeutung Beachten Sie, dass die Anzahl der Umdrehungen, die er ausführen kann, davon abhängt, wie lange er in der Luft ist. Bei dem Problem verlässt er die Reckstange horizontal zum Boden. Er könnte auch schräg zum Boden aussteigen, was ihm je nach Winkel, positiv oder negativ, zum Boden mehr oder weniger Zeit in der Luft verschafft. Turner müssen dies berücksichtigen, wenn sie ihre Abgänge ausführen. Beispiel (PageIndex<2B>): Erhaltung des Drehimpulses einer Kollision Ein Geschoss der Masse m = 2,0 g bewegt sich horizontal mit einer Geschwindigkeit von 500,0 m/s. Das Geschoss trifft auf und wird in den Rand einer festen Scheibe der Masse M = 3,2 kg und Radius R = 0,5 m eingebettet. Der Zylinder kann sich frei um seine Achse drehen und befindet sich zunächst in Ruhe (Abbildung (PageIndex<5>)). Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit der Scheibe unmittelbar nach dem Einbetten der Kugel? Abbildung (PageIndex<5>): Eine Kugel wird horizontal abgefeuert und in den Rand einer Scheibe eingebettet, die sich um ihre vertikale Achse frei drehen kann. Für das System aus Geschoss und Zylinder wirkt kein äußeres Drehmoment entlang der vertikalen Achse durch das Zentrum der Scheibe. Somit bleibt der Drehimpuls entlang dieser Achse erhalten. Der anfängliche Drehimpuls des Geschosses ist mvR, der im Moment vor der Kollision um die Rotationsachse der Scheibe aufgenommen wird. Der Anfangsdrehimpuls des Zylinders ist Null. Somit ist der Nettodrehimpuls des Systems mvR. Da der Drehimpuls erhalten bleibt, ist der anfängliche Drehimpuls des Systems gleich dem Drehimpuls des in die Scheibe eingebetteten Geschosses unmittelbar nach dem Aufprall. Der Anfangsdrehimpuls des Systems ist [L_ = mvR ldotp
onumber] Das Trägheitsmoment des Systems mit der in die Scheibe eingebetteten Kugel ist [I = mR^ <2>+ frac<1> <2>MR^ <2>= left(m + dfrac Der Enddrehimpuls des Systems ist [L_ Somit ist nach Erhaltung des Drehimpulses Lich = Lf und [mvR = left(m + dfrac Bedeutung Das System besteht sowohl aus einem Punktteilchen als auch aus einem starren Körper. Bei der Formulierung des Drehimpulses vor und nach dem Stoß ist Vorsicht geboten. Kurz vor dem Aufprall wird der Drehimpuls des Geschosses um die Drehachse der Scheibe aufgenommen. Ein etwas komplexeres, aber für das Verständnis vieler astronomischer Objekte wichtiges Konzept ist Drehimpuls, die ein Maß für die Rotation eines Körpers ist, wenn er sich um einen festen Punkt dreht (ein Beispiel ist ein Planet, der die Sonne umkreist). Der Drehimpuls eines Objekts ist definiert als das Produkt seiner Masse, seiner Geschwindigkeit und seiner Entfernung vom Fixpunkt, um den es sich dreht. Bleiben diese drei Größen konstant, d. h. findet die Bewegung eines bestimmten Objekts mit konstanter Geschwindigkeit in einem festen Abstand vom Spinzentrum statt, dann ist auch der Drehimpuls konstant. Das zweite Keplersche Gesetz ist eine Folge des Drehimpulserhaltung. Wenn sich ein Planet auf seiner elliptischen Bahn der Sonne nähert und der Abstand zum Spinzentrum abnimmt, beschleunigt der Planet, um den Drehimpuls zu erhalten. Ebenso bewegt sich der Planet langsamer, wenn er weiter von der Sonne entfernt ist. Das Drehimpulserhaltung wird durch Eiskunstläufer illustriert, die ihre Arme und Beine einbringen, um schneller zu drehen, und ihre Arme und Beine ausstrecken, um langsamer zu werden (Abbildung 3). Sie können dies selbst auf einem gut geölten Drehhocker nachbilden, indem Sie sich langsam mit ausgestreckten Armen drehen und dann die Arme einziehen. Ein weiteres Beispiel für die Erhaltung des Drehimpulses ist eine schrumpfende Staubwolke oder ein in sich zusammenbrechender Stern (beides sind Situationen, die Sie beim Weiterlesen kennenlernen werden). Wenn sich das Material zu einem geringeren Abstand vom Spinzentrum bewegt, erhöht sich die Geschwindigkeit des Materials, um den Drehimpuls zu erhalten. Abbildung 3: Erhaltung des Drehimpulses. Wenn eine sich drehende Eiskunstläuferin ihre Arme einbringt, ist ihr Abstand von ihrem Drehzentrum geringer, sodass ihre Geschwindigkeit steigt. Wenn ihre Arme ausgestreckt sind, ist ihr Abstand zum Drehzentrum größer, sodass sie langsamer wird. In seinem Principia, hat Isaac Newton die drei Gesetze aufgestellt, die die Bewegung von Objekten regeln: (1) Objekte ruhen weiterhin oder bewegen sich mit konstanter Geschwindigkeit, wenn sie nicht von einer äußeren Kraft beeinflusst werden (2) eine äußere Kraft verursacht eine Beschleunigung (und ändert den Impuls ) für ein Objekt und (3) für jede Aktion gibt es eine gleiche und entgegengesetzte Reaktion. Der Impuls ist ein Maß für die Bewegung eines Objekts und hängt sowohl von seiner Masse als auch von seiner Geschwindigkeit ab. Der Drehimpuls ist ein Maß für die Bewegung eines sich drehenden oder sich drehenden Objekts und hängt von seiner Masse, Geschwindigkeit und Entfernung von dem Punkt ab, um den es sich dreht. Die Dichte eines Objekts ist seine Masse geteilt durch sein Volumen. Bisher haben wir uns den Drehimpuls von Systemen aus Punktteilchen und starren Körpern angesehen. Wir haben auch die beteiligten Drehmomente analysiert, indem wir den Ausdruck verwendet haben, der das externe Nettodrehmoment mit der Änderung des Drehimpulses in Beziehung setzt (Abbildung). Beispiele für Systeme, die dieser Gleichung gehorchen, sind ein frei drehender Fahrradreifen, der aufgrund von Reibungsmomenten mit der Zeit langsamer wird, oder die Verlangsamung der Erdrotation über Millionen von Jahren aufgrund von Reibungskräften, die auf Gezeitendeformationen ausgeübt werden. Angenommen, das System hat kein externes Nettodrehmoment, In diesem Fall wird (Abbildung) der Drehimpulserhaltungssatz. Der Drehimpuls eines Teilchensystems um einen Punkt in einem festen Trägheitsbezugssystem bleibt erhalten, wenn um diesen Punkt kein äußeres Nettodrehmoment vorhanden ist: Notiere dass der gesamt Drehimpuls ist konserviert. Jeder der einzelnen Drehimpulse kann sich ändern, solange ihre Summe konstant bleibt. Dieses Gesetz ist analog zur Impulserhaltung, wenn die äußere Kraft auf ein System null ist. Als Beispiel für die Erhaltung des Drehimpulses zeigt (Abbildung) einen Eisläufer, der eine Drehung ausführt. Das Nettodrehmoment auf ihr ist sehr nahe Null, da es relativ wenig Reibung zwischen ihren Schlittschuhen und dem Eis gibt. Außerdem wird die Reibung sehr nahe am Drehpunkt ausgeübt. Beide Ist vernachlässigbar. Folglich kann sie sich ziemlich lange drehen. Sie kann ihre Spinrate auch erhöhen, indem sie ihre Arme und Beine einzieht. Warum erhöht sie ihre Spinrate, wenn sie ihre Arme und Beine einzieht? Die Antwort ist, dass ihr Drehimpuls konstant ist, so dass wobei sich die grundierten Größen auf Zustände beziehen, nachdem sie ihre Arme eingezogen und ihr Trägheitsmoment reduziert hat. weil kleiner ist, ist die Winkelgeschwindigkeit muss zunehmen, um den Drehimpuls konstant zu halten. Es ist interessant zu sehen, wie sich die kinetische Rotationsenergie der Skaterin ändert, wenn sie ihre Arme einzieht. Ihre anfängliche Rotationsenergie ist wohingegen ihre endgültige Rotationsenergie Da ihr Trägheitsmoment abgenommen hat, ihre endgültige kinetische Rotationsenergie hat sich erhöht. Die Quelle dieser zusätzlichen kinetischen Rotationsenergie ist die Arbeit, die erforderlich ist, um ihre Arme nach innen zu ziehen. Beachten Sie, dass sich die Arme des Skaters nicht in einem perfekten Kreis bewegen – sie drehen sich nach innen. Diese Arbeit bewirkt eine Erhöhung der kinetischen Rotationsenergie, während ihr Drehimpuls konstant bleibt. Da sie sich in einer reibungsfreien Umgebung befindet, entweicht keine Energie dem System. Wenn sie also ihre Arme in ihre ursprüngliche Position ausstrecken würde, würde sie sich mit ihrer ursprünglichen Winkelgeschwindigkeit drehen und ihre kinetische Energie würde auf ihren ursprünglichen Wert zurückkehren. Das Sonnensystem ist ein weiteres Beispiel dafür, wie die Drehimpulserhaltung in unserem Universum funktioniert. Unser Sonnensystem wurde aus einer riesigen Gas- und Staubwolke geboren, die ursprünglich Rotationsenergie hatte. Gravitationskräfte führten dazu, dass sich die Wolke zusammenzog und die Rotationsgeschwindigkeit durch die Erhaltung des Drehimpulses ((Abbildung)) erhöht wurde. Wir setzen unsere Diskussion mit einem Beispiel fort, das Anwendungen in der Technik hat. Ein Schwungrad dreht sich reibungsfrei mit einer Winkelgeschwindigkeit auf einer reibungsfreien, vertikalen Welle mit vernachlässigbarer Rotationsträgheit. Darauf fällt ein zweites Schwungrad, das ruht und ein dreifaches Trägheitsmoment hat wie das rotierende Schwungrad ((Abbildung)). Da zwischen den Oberflächen Reibung herrscht, erreichen die Schwungräder sehr schnell die gleiche Rotationsgeschwindigkeit und drehen sich dann zusammen. (a) Verwenden Sie den Drehimpulserhaltungssatz, um die Winkelgeschwindigkeit . zu bestimmen der Kombination. (b) Welcher Bruchteil der anfänglichen kinetischen Energie geht bei der Kopplung der Schwungräder verloren? Teil (a) ist einfach nach der Winkelgeschwindigkeit des gekoppelten Systems aufzulösen. Wir verwenden das Ergebnis von (a), um die anfängliche und die endgültige kinetische Energie des Systems in Teil (b) zu vergleichen. ein. Auf das System wirken keine äußeren Drehmomente. Die Reibungskraft erzeugt ein inneres Drehmoment, das den Drehimpuls des Systems nicht beeinflusst. Daher ergibt die Erhaltung des Drehimpulses b. Vor dem Kontakt dreht sich nur ein Schwungrad. Die kinetische Rotationsenergie dieses Schwungrades ist die anfängliche kinetische Rotationsenergie des Systems, . Die endgültige kinetische Energie ist Daher ist das Verhältnis der kinetischen Endenergie zur kinetischen Anfangsenergie Somit geht 3/4 der anfänglichen kinetischen Energie an die Kopplung der beiden Schwungräder verloren. Da die Rotationsträgheit des Systems zunahm, nahm die Winkelgeschwindigkeit ab, wie aus dem Drehimpulserhaltungssatz erwartet. In diesem Beispiel sehen wir, dass die kinetische Endenergie des Systems abgenommen hat, da Energie an die Kopplung der Schwungräder verloren geht. Vergleichen Sie dies mit dem Beispiel der Skaterin in (Abbildung), die Arbeit verrichtet, um ihre Arme nach innen zu bringen und kinetische Rotationsenergie hinzuzufügen. Ein Karussell auf einem Spielplatz dreht sich mit 4,0 U/min. Drei Kinder springen auf und erhöhen das Trägheitsmoment des Karussells/Kinderdrehsystems um . Wie hoch ist die neue Rotationsrate? [reveal-answer q=”fs-id1165037935148″]Lösung anzeigen[/reveal-answer] Unter Verwendung der Drehimpulserhaltung gilt Ein 80,0 kg schwerer Turner steigt von einem Reck ab. Er beginnt den Abstieg mit voller Streckung, dann zieht er sich ein, um eine Reihe von Umdrehungen durchzuführen, bevor er landet. Sein Trägheitsmoment im voll ausgefahrenen Zustand kann als Rute mit einer Länge von 1,8 m angenähert werden und in der Tuck eine Rute von der halben Länge. Wenn seine Rotationsgeschwindigkeit bei voller Streckung 1,0 U/s beträgt und er in die Tuck einsteigt, wenn sich sein Schwerpunkt auf 3,0 m Höhe befindet und sich horizontal zum Boden bewegt, wie viele Umdrehungen kann er dann ausführen, wenn er in 1,8 m Höhe aus der Tuck kommt ? Siehe Abbildung). Unter Verwendung der Erhaltung des Drehimpulses können wir seine Rotationsrate finden, wenn er in der Tuck liegt. Mit den Gleichungen der Kinematik können wir das Zeitintervall von einer Höhe von 3,0 m bis 1,8 m ermitteln. Da er sich horizontal zum Boden bewegt, vereinfachen sich die Gleichungen des freien Falls. Dadurch kann die Anzahl der ausführbaren Umdrehungen berechnet werden. Da wir ein Verhältnis verwenden, können wir die Einheiten als U/s beibehalten und müssen nicht in Radiant/s umrechnen. The moment of inertia at full extension is The moment of inertia in the tuck is . Time interval in the tuck: In 0.5 s, he will be able to execute two revolutions at 4.0 rev/s. Note that the number of revolutions he can complete will depend on how long he is in the air. In the problem, he is exiting the high bar horizontally to the ground. He could also exit at an angle with respect to the ground, giving him more or less time in the air depending on the angle, positive or negative, with respect to the ground. Gymnasts must take this into account when they are executing their dismounts. is moving horizontally with a speed of The bullet strikes and becomes embedded in the edge of a solid disk of mass The cylinder is free to rotate around its axis and is initially at rest ((Figure)). What is the angular velocity of the disk immediately after the bullet is embedded? For the system of the bullet and the cylinder, no external torque acts along the vertical axis through the center of the disk. Thus, the angular momentum along this axis is conserved. The initial angular momentum of the bullet is , which is taken about the rotational axis of the disk the moment before the collision. The initial angular momentum of the cylinder is zero. Thus, the net angular momentum of the system is . Since angular momentum is conserved, the initial angular momentum of the system is equal to the angular momentum of the bullet embedded in the disk immediately after impact. The initial angular momentum of the system is The moment of inertia of the system with the bullet embedded in the disk is The final angular momentum of the system is Thus, by conservation of angular momentum, The system is composed of both a point particle and a rigid body. Care must be taken when formulating the angular momentum before and after the collision. Just before impact the angular momentum of the bullet is taken about the rotational axis of the disk. What is the purpose of the small propeller at the back of a helicopter that rotates in the plane perpendicular to the large propeller? [reveal-answer q=”fs-id1165038199297″]Show Solution[/reveal-answer] Without the small propeller, the body of the helicopter would rotate in the opposite sense to the large propeller in order to conserve angular momentum. The small propeller exerts a thrust at a distance R from the center of mass of the aircraft to prevent this from happening. As the rope of a tethered ball winds around a pole, what happens to the angular velocity of the ball? [reveal-answer q=”fs-id1165038356984″]Show Solution[/reveal-answer] The angular velocity increases because the moment of inertia is decreasing. Suppose the polar ice sheets broke free and floated toward Earth’s equator without melting. What would happen to Earth’s angular velocity? Explain why stars spin faster when they collapse. [reveal-answer q=″]Show Answer[/reveal-answer] Competitive divers pull their limbs in and curl up their bodies when they do flips. Just before entering the water, they fully extend their limbs to enter straight down (see below). Explain the effect of both actions on their angular velocities. Also explain the effect on their angular momentum. A disk of mass 2.0 kg and radius 60 cm with a small mass of 0.05 kg attached at the edge is rotating at 2.0 rev/s. The small mass suddenly separates from the disk. What is the disk’s final rotation rate? and it has a rotational period of approximately 28 days. If the Sun should collapse into a white dwarf of radius what would its period be if no mass were ejected and a sphere of uniform density can model the Sun both before and after? [reveal-answer q=”fs-id1165037231632″]Show Solution[/reveal-answer] A cylinder with rotational inertia rotates clockwise about a vertical axis through its center with angular speed A second cylinder with rotational inertia rotates counterclockwise about the same axis with angular speed . If the cylinders couple so they have the same rotational axis what is the angular speed of the combination? What percentage of the original kinetic energy is lost to friction? A diver off the high board imparts an initial rotation with his body fully extended before going into a tuck and executing three back somersaults before hitting the water. If his moment of inertia before the tuck is and after the tuck during the somersaults is , what rotation rate must he impart to his body directly off the board and before the tuck if he takes 1.4 s to execute the somersaults before hitting the water? [reveal-answer q=”fs-id1165038396970″]Show Solution[/reveal-answer] An Earth satellite has its apogee at 2500 km above the surface of Earth and perigee at 500 km above the surface of Earth. At apogee its speed is 730 m/s. What is its speed at perigee? Earth’s radius is 6370 km (see below). A Molniya orbit is a highly eccentric orbit of a communication satellite so as to provide continuous communications coverage for Scandinavian countries and adjacent Russia. The orbit is positioned so that these countries have the satellite in view for extended periods in time (see below). If a satellite in such an orbit has an apogee at 40,000.0 km as measured from the center of Earth and a velocity of 3.0 km/s, what would be its velocity at perigee measured at 200.0 km altitude? [reveal-answer q=″]Show Answer[/reveal-answer] Shown below is a small particle of mass 20 g that is moving at a speed of 10.0 m/s when it collides and sticks to the edge of a uniform solid cylinder. The cylinder is free to rotate about its axis through its center and is perpendicular to the page. The cylinder has a mass of 0.5 kg and a radius of 10 cm, and is initially at rest. (a) What is the angular velocity of the system after the collision? (b) How much kinetic energy is lost in the collision? A bug of mass 0.020 kg is at rest on the edge of a solid cylindrical disk rotating in a horizontal plane around the vertical axis through its center. The disk is rotating at 10.0 rad/s. The bug crawls to the center of the disk. (a) What is the new angular velocity of the disk? (b) What is the change in the kinetic energy of the system? (c) If the bug crawls back to the outer edge of the disk, what is the angular velocity of the disk then? (d) What is the new kinetic energy of the system? (e) What is the cause of the increase and decrease of kinetic energy? [reveal-answer q=”fs-id1165037028438″]Show Solution[/reveal-answer] back to the original value back to the original value e. work of the bug crawling on the disk A uniform rod of mass 200 g and length 100 cm is free to rotate in a horizontal plane around a fixed vertical axis through its center, perpendicular to its length. Two small beads, each of mass 20 g, are mounted in grooves along the rod. Initially, the two beads are held by catches on opposite sides of the rod’s center, 10 cm from the axis of rotation. With the beads in this position, the rod is rotating with an angular velocity of 10.0 rad/s. When the catches are released, the beads slide outward along the rod. (a) What is the rod’s angular velocity when the beads reach the ends of the rod? (b) What is the rod’s angular velocity if the beads fly off the rod? A merry-go-round has a radius of 2.0 m and a moment of inertia A boy of mass 50 kg runs tangent to the rim at a speed of 4.0 m/s and jumps on. If the merry-go-round is initially at rest, what is the angular velocity after the boy jumps on? [reveal-answer q=”fs-id1165038006378″]Show Solution[/reveal-answer] A playground merry-go-round has a mass of 120 kg and a radius of 1.80 m and it is rotating with an angular velocity of 0.500 rev/s. What is its angular velocity after a 22.0-kg child gets onto it by grabbing its outer edge? The child is initially at rest. Three children are riding on the edge of a merry-go-round that is 100 kg, has a 1.60-m radius, and is spinning at 20.0 rpm. The children have masses of 22.0, 28.0, and 33.0 kg. If the child who has a mass of 28.0 kg moves to the center of the merry-go-round, what is the new angular velocity in rpm? [reveal-answer q=″]Show Answer[/reveal-answer] (a) Calculate the angular momentum of an ice skater spinning at 6.00 rev/s given his moment of inertia is . (b) He reduces his rate of spin (his angular velocity) by extending his arms and increasing his moment of inertia. Find the value of his moment of inertia if his angular velocity decreases to 1.25 rev/s. (c) Suppose instead he keeps his arms in and allows friction of the ice to slow him to 3.00 rev/s. What average torque was exerted if this takes 15.0 s? Twin skaters approach one another as shown below and lock hands. (a) Calculate their final angular velocity, given each had an initial speed of 2.50 m/s relative to the ice. Each has a mass of 70.0 kg, and each has a center of mass located 0.800 m from their locked hands. You may approximate their moments of inertia to be that of point masses at this radius. (b) Compare the initial kinetic energy and final kinetic energy. [reveal-answer q=″]Show Answer[/reveal-answer] A baseball catcher extends his arm straight up to catch a fast ball with a speed of 40 m/s. The baseball is 0.145 kg and the catcher’s arm length is 0.5 m and mass 4.0 kg. (a) What is the angular velocity of the arm immediately after catching the ball as measured from the arm socket? (b) What is the torque applied if the catcher stops the rotation of his arm 0.3 s after catching the ball? In 2015, in Warsaw, Poland, Olivia Oliver of Nova Scotia broke the world record for being the fastest spinner on ice skates. She achieved a record 342 rev/min, beating the existing Guinness World Record by 34 rotations. If an ice skater extends her arms at that rotation rate, what would be her new rotation rate? Assume she can be approximated by a 45-kg rod that is 1.7 m tall with a radius of 15 cm in the record spin. With her arms stretched take the approximation of a rod of length 130 cm with of her body mass aligned perpendicular to the spin axis. Neglect frictional forces. [reveal-answer q=”fs-id1165036749425″]Show Solution[/reveal-answer] Moment of inertia in the record spin: A satellite in a geosynchronous circular orbit is 42,164.0 km from the center of Earth. A small asteroid collides with the satellite sending it into an elliptical orbit of apogee 45,000.0 km. What is the speed of the satellite at apogee? Assume its angular momentum is conserved. A gymnast does cartwheels along the floor and then launches herself into the air and executes several flips in a tuck while she is airborne. If her moment of inertia when executing the cartwheels is and her spin rate is 0.5 rev/s, how many revolutions does she do in the air if her moment of inertia in the tuck is and she has 2.0 s to do the flips in the air? [reveal-answer q=”fs-id1165036756449″]Show Solution[/reveal-answer] Her spin rate in the air is: The centrifuge at NASA Ames Research Center has a radius of 8.8 m and can produce forces on its payload of 20 gs or 20 times the force of gravity on Earth. (a) What is the angular momentum of a 20-kg payload that experiences 10 gs in the centrifuge? (b) If the driver motor was turned off in (a) and the payload lost 10 kg, what would be its new spin rate, taking into account there are no frictional forces present? A ride at a carnival has four spokes to which pods are attached that can hold two people. The spokes are each 15 m long and are attached to a central axis. Each spoke has mass 200.0 kg, and the pods each have mass 100.0 kg. If the ride spins at 0.2 rev/s with each pod containing two 50.0-kg children, what is the new spin rate if all the children jump off the ride? [reveal-answer q=”fs-id1165036843604″]Show Solution[/reveal-answer] Moment of inertia with all children aboard: An ice skater is preparing for a jump with turns and has his arms extended. His moment of inertia is while his arms are extended, and he is spinning at 0.5 rev/s. If he launches himself into the air at 9.0 m/s at an angle of with respect to the ice, how many revolutions can he execute while airborne if his moment of inertia in the air is A space station consists of a giant rotating hollow cylinder of mass including people on the station and a radius of 100.00 m. It is rotating in space at 3.30 rev/min in order to produce artificial gravity. If 100 people of an average mass of 65.00 kg spacewalk to an awaiting spaceship, what is the new rotation rate when all the people are off the station? [reveal-answer q=”fs-id1165037180592″]Show Solution[/reveal-answer] from the Sun with an orbital period of 165 years. Planetesimals in the outer primordial solar system 4.5 billion years ago coalesced into Neptune over hundreds of millions of years. If the primordial disk that evolved into our present day solar system had a radius of km and if the matter that made up these planetesimals that later became Neptune was spread out evenly on the edges of it, what was the orbital period of the outer edges of the primordial disk? A tensor can not be equal to zero in one frame and not be equal to zero in another frame. If you consider an angular velocity ##omega## relative an inertial frame then the phrase "relative an inertial frame" is a part of the definition of the vector ##omega##. Once you have defined the vector ##omega## you can expand this vector in any frame you wish. If ##omega
e 0## then it is so in any frame. If you consider an angular velocity relativ noninertial frame then this angular velocity is just another vector, not the same as the previously discussed one Even in the body frame, if the body is rotating, the angular velocity vector is not zero. The choice of a reference frame is essentially just choosing a set of base vectors on which to resolve the velocity vector. Now there may be some confusion about what it means to rotate. The best understanding is to say that rotation refers to rotation with respect to an inertial frame. If there is rotation with respect to an inertial frame, then the vector exists and is nonzero, and it may be resolved on any convenient frame, including a body frame. I am not sure I understand what you mean by "exist". A velocity vector has magnitude and direction. A coordinate system is necessary to specify the direction. If you take that reference away, the vector loses one of its two principal properties and becomes a scalar. Doesn't that mean that it loses its "existence" as a vector? On edit: The exchange between @Dr.D and me has gone off-thread to private messaging in order to keep the main discussion focused. We can now understand why Earth keeps on spinning. As we saw in the previous example, ( ext<δ>L=( ext
What we have here is, in fact, another conservation law. If the net torque is zero, then angular momentum is constant or conserved. We can see this rigorously by considering ( ext If the change in angular momentum ( ext<δ>L) is zero, then the angular momentum is constant thus, These expressions are the law of conservation of angular momentum. Conservation laws are as scarce as they are important. An example of conservation of angular momentum is seen in the figure below, in which an ice skater is executing a spin. The net torque on her is very close to zero, because there is relatively little friction between her skates and the ice and because the friction is exerted very close to the pivot point. (Both (F) and (r) are small, and so ( au ) is negligibly small.) Consequently, she can spin for quite some time. She can do something else, too. She can increase her rate of spin by pulling her arms and legs in. Why does pulling her arms and legs in increase her rate of spin? The answer is that her angular momentum is constant, so that Expressing this equation in terms of the moment of inertia, where the primed quantities refer to conditions after she has pulled in her arms and reduced her moment of inertia. Because (Iprime ) is smaller, the angular velocity (omega prime ) must increase to keep the angular momentum constant. The change can be dramatic, as the following example shows. (a) An ice skater is spinning on the tip of her skate with her arms extended. Her angular momentum is conserved because the net torque on her is negligibly small. In the next image, her rate of spin increases greatly when she pulls in her arms, decreasing her moment of inertia. The work she does to pull in her arms results in an increase in rotational kinetic energy. Suppose an ice skater, such as the one in the figure above, is spinning at 0.800 rev/ s with her arms extended. She has a moment of inertia of (2 ext<.> ext<34>phantom<
ule<0.25em><0ex>> ext
In the first part of the problem, we are looking for the skater’s angular velocity (omega prime ) after she has pulled in her arms. To find this quantity, we use the conservation of angular momentum and note that the moments of inertia and initial angular velocity are given. To find the initial and final kinetic energies, we use the definition of rotational kinetic energy given by Solution for (a) Because torque is negligible (as discussed above), the conservation of angular momentum given in (mathrm Solving for (omega prime ) and substituting known values into the resulting equation gives Solution for (b) Rotational kinetic energy is given by The initial value is found by substituting known values into the equation and converting the angular velocity to rad/s: The final rotational kinetic energy is Substituting known values into this equation gives In both parts, there is an impressive increase. First, the final angular velocity is large, although most world-class skaters can achieve spin rates about this great. Second, the final kinetic energy is much greater than the initial kinetic energy. The increase in rotational kinetic energy comes from work done by the skater in pulling in her arms. This work is internal work that depletes some of the skater’s food energy. There are several other examples of objects that increase their rate of spin because something reduced their moment of inertia. Tornadoes are one example. Storm systems that create tornadoes are slowly rotating. When the radius of rotation narrows, even in a local region, angular velocity increases, sometimes to the furious level of a tornado. Earth is another example. Our planet was born from a huge cloud of gas and dust, the rotation of which came from turbulence in an even larger cloud. Gravitational forces caused the cloud to contract, and the rotation rate increased as a result. (See the figure below.) The Solar System coalesced from a cloud of gas and dust that was originally rotating. The orbital motions and spins of the planets are in the same direction as the original spin and conserve the angular momentum of the parent cloud. In case of human motion, one would not expect angular momentum to be conserved when a body interacts with the environment as its foot pushes off the ground. Astronauts floating in space aboard the International Space Station have no angular momentum relative to the inside of the ship if they are motionless. Their bodies will continue to have this zero value no matter how they twist about as long as they do not give themselves a push off the side of the vessel. Is angular momentum completely analogous to linear momentum? What, if any, are their differences? Yes, angular and linear momentums are completely analogous. While they are exact analogs they have different units and are not directly inter-convertible like forms of energy are. I now deal with a third topic in rather more detail, namely the relation between angular momentum ( f L ) and angular velocity ( oldsymbol If there are no external torques acting on a body, ( f L ) is constant in both magnitude and direction. The instantaneous angular velocity vector, however, is not fixed either in space or with respect to the body - unless the body is rotating about a principal axis and the inertia tensor is diagonal. So much for a preview and a qualitative description. Now down to work. I am going to have to assume familiarity with the equation for the components of the cross product of two vectors: I am also going to assume that the reader knows that the angular momentum of a particle of mass ( m ) at position vector ( f r ) (components (( x,y,z ) ) ) and moving with velocity (f v ) (components ( ( dot I also assume that the relation between linear velocity ( f v )( ( dot [ < f L >= left(egin This is the equation ( f L =mathbb oldsymbol [mathbb I = left( egin so that, for example, ( I_
Drehimpuls
Schlüsselkonzepte und Zusammenfassung
11.3 Erhaltung des Drehimpulses
Gesetz der Erhaltung des Drehimpulses
Beispiel
Gekoppelte Schwungräder
Strategie
Lösung
Bedeutung
Überprüfen Sie Ihr Verständnis
Beispiel
Steigen Sie von einem Reck ab
Strategie
Lösung
Conservation of angular momentum:Significance
Example
Conservation of Angular Momentum of a Collision
Strategy
Solution
Significance
Summary
Conceptual Questions
[hidden-answer a=″]More mass is concentrated near the rotational axis, which decreases the moment of inertia causing the star to increase its angular velocity.[/hidden-answer]Problems
[hidden-answer a=″]
[hidden-answer a=″]
[hidden-answer a=″]a.
She can do four flips in the air.
Conservation of Angular Momentum
Example: Calculating the Angular Momentum of a Spinning Skater
Check Your Understanding
Solution
Inertia Tensor