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Einen Großteil meines uninformierten Lebens habe ich an der Existenz von Gravitonen gezweifelt oder sogar daran, dass die Schwerkraft eine tatsächliche "Kraft" ist (wie der Elektromagnetismus). Dies liegt daran, dass meine Vision der Allgemeinen Relativitätstheorie war, dass Masse den Raum so krümmt, dass sich Objekte immer noch in einer "geraden Linie" bewegen, wenn sie von "Schwerkraft" beeinflusst werden, so dass keine "Kraft" benötigt wird. Ich weiß jetzt, dass dies eine naive Ansicht ist, aber ich bin mir nicht 100% sicher, warum. Ich dachte neulich, dass allein die Tatsache, dass die Schwerkraft einem inversen quadratischen Gesetz folgt, impliziert, dass es sich um eine Kraft handelt, die von Partikeln getragen wird (die aufgrund der Geometrie des 3D-Raums in der Flussintensität abfällt).
Meine Frage wäre: Fällt die Tatsache, dass die Gravitation einem inversen quadratischen Gesetz folgt, natürlich aus den allgemeinen Relativitätsgleichungen oder ist dies eine Annahme, die bei der Entwicklung der Gleichungen verwendet wird?
Und gerade hatte ich den Gedanken, dass auch andere Kräfte den Raum krümmen können (nur in höheren Dimensionen).
Einen Großteil meines uninformierten Lebens habe ich an der Existenz von Gravitonen gezweifelt oder sogar daran, dass die Schwerkraft eine tatsächliche "Kraft" ist (wie der Elektromagnetismus).
Die Schwerkraft ist eine Kraft wie der Elektromagnetismus, hat jedoch eine besondere Eigenschaft, da alle Testteilchen unabhängig von ihrer Zusammensetzung in einem Gravitationsfeld auf die gleiche Weise fallen. Dies bedeutet, dass Trägheitsmassen und Gravitationsmassen gleich sind (oder zumindest universell proportional sind, sodass wir Einheiten verwenden können, in denen sie gleich sind), und es steht uns frei, den freien Fall der Gravitation als Trägheitsbewegung zu interpretieren.
In Bezug auf die Quantenfeldtheorie ist es eigentlich ein Theorem, dass bei niedrigen Energien masselose Spin-2-Teilchen unabhängig von der Teilchenart gleichmäßig an alle Energie-Impulse koppeln müssen. Mit anderen Worten, das Äquivalenzprinzip der Allgemeinen Relativitätstheorie ist ein beweisbarer Satz für Gravitonen.
Umgekehrt können wir die Allgemeine Relativitätstheorie auch als masseloses Spin-2-Feld auf einem flachen Hintergrund der Raumzeit interpretieren, aber aufgrund dieser Universalität wird der Hintergrund von keinem Experiment beobachtbar sein. Aus diesem Grund neigen Relativisten dazu nicht, da dies die geometrische Interpretation bequemer macht.
Leider verhält sich die quantisierte Allgemeine Relativitätstheorie sehr schlecht, wenn man versucht, sie auf willkürliche Energieskalen zu bringen. Physikalisch bedeutet dies, dass bis dahin eine neue Physik hinzukommen muss, um das Problem zu beheben. Diese Art von Situation ist jedoch kaum einzigartig für die Gravitation, die als effektive Feldtheorie bei niedrigeren Energien immer noch sinnvoll ist; vgl. lebende Rezension von Cliff P. Burgess. Die Spannung zwischen allgemeiner Relativitätstheorie und Quantenmechanik wird in populären Beschreibungen oft überbewertet.
Meine Frage wäre: Fällt die Tatsache, dass die Gravitation einem inversen quadratischen Gesetz folgt, natürlich aus den allgemeinen Relativitätsgleichungen oder ist dies eine Annahme, die bei der Entwicklung der Gleichungen verwendet wird?
Der inverse quadratische Teil fällt von selbst heraus, aber die spezifische Proportionalitätskonstante bedarf einer zusätzlichen Annahme.
Betrachtet man eine allgemeine Feldgleichung $G_{mu u} = kappa T_{mu u}$, wobei $T_{mu u}$ der als symmetrisch angenommene Spannungs-Energie-Tensor ist und kovariant erhalten, dann ist der Einstein-Tensor $G_{mu u} equiv R_{mu u} - frac{1}{2}g_{mu u}R$ die eindeutige skaleninvariante Lösung, die kann aus der Metrik aufgebaut werden. Diese Anforderung bedeutet, dass nur Terme zweiter Ordnung in Ableitungen der Metrik zulässig sind, und sie wird z. kosmologischer konstanter Term $Lambda g_{mu u}$, da dies eine Länge $Lambda^{-1/2}sim 10^{10},mathrm{ly}$ in die Theorie einführt.
Es gibt andere Möglichkeiten, die Einstein-Feldgleichung zu entwickeln, z.B. über die Einstein-Hilbert-Aktion, die keine spezifischen Annahmen über den Spannungs-Energie-Tensor erfordert. Unabhängig davon besteht die Rolle des Newtonschen Grenzwerts darin, den Wert der ansonsten unbestimmten Konstanten $kappa = 8pi G/c^4$ festzulegen. Wenn Sie nur an einer Newton-ähnlichen umgekehrten quadratischen Beziehung interessiert sind, dann das allein braucht keine zusätzlichen Annahmen über den Versuch, die Newtonsche Gravitation anzupassen.
Gegeben ein zeitartiges Vektorfeld $u$, das als die Vierergeschwindigkeiten einer Familie von Beobachtern interpretiert werden kann, können wir die Zeit-Zeit-Projektion einer äquivalenten Form der Einsteinschen Feldgleichung schreiben, $R_{mu u} = kappa(T_{mu u}-frac{1}{2}g_{mu u}T)$, als $$R_{00} equiv R_{mu u}u^ mu u^ u = frac{1}{2}kappa( ho+3p) ext{,}$$ wobei $ ho$ die Energiedichte und $p$ der Durchschnitt der Hauptspannungen as gemessen von einem Beobachter mit vier Geschwindigkeiten $u$. Bei nichtrelativistischer Materie sind die Spannungsterme im Vergleich zur Energiedichte vernachlässigbar.
Der Newtonsche Grenzwert wird typischerweise in der Schwachfeld-Approximation diskutiert, $g_{mu u} = eta_{mu u} + h_{mu u}$ mit $|h_{mu u}|ll 1$, um zu zeigen, dass $$frac{1}{2}kappa hoapprox R_{00} = R^alpha{}_{0alpha 0}approxpartial_ alphaGamma^{alpha}_{00}approx-frac{1}{2} abla^2h_{00} ext{,}$$ was dann die Form der Poissonschen Gleichung für das Newtonsche Gravitationspotential hat in Bezug auf die Materiedichte $ ho_ ext{m}$, dh $ abla^2Phi = 4pi G ho_ ext{m}$. Für sich langsam bewegende Testteilchen reduziert die geodätische Gleichung auf die Newtoni-Bewegungsgleichung: $$frac{mathrm{d}^2mathbf{x}}{mathrm{d}t^2} = frac {1}{2} abla h_{00} = - ablaPhi ext{.}$$ Eine andere Möglichkeit, sich dies vorzustellen, besteht darin, die richtige Zeit des freifallenden Teilchens aufzuschreiben und zu zeigen, dass die Extremisierung äquivalent zur Extremisierung ist $intleft(frac{1}{2}v^2+frac{1}{2}h_{00} ight)mathrm{d}t$, was die Aktionswirkung (pro Masse) ist eines Teilchens, das der Newtonschen Schwerkraft unterliegt, wenn $h_{00} approx -2Phi/c^2$.
Vielleicht interessiert Sie diese einfachere Herleitung des Newtonschen Gravitationsgesetzes um einen kugelsymmetrischen Körper, basierend auf der geometrischen Interpretation der Ricci-Krümmung als Beschleunigung des Volumens einer kleinen Kugel aus anfänglich mitbewegten Testteilchen.
Und gerade hatte ich den Gedanken, dass auch andere Kräfte den Raum krümmen können (nur in höheren Dimensionen).
Dies wurde für den Elektromagnetismus von Kaluza und Klein kurz nach GTR durchgeführt, aber es stellt sich heraus, dass dies kein direkt nützlicher Weg ist, um über andere Kräfte nachzudenken.
Stattdessen können wir uns die Riemannsche Krümmung in der Allgemeinen Relativitätstheorie als die Krümmungsform der Levi-Civita-Verbindung auf dem Tangentialbündel einer gegebenen Mannigfaltigkeit mit der Strukturgruppe $mathrm{O}(1,n)$ vorstellen. Aber in dieser Sprache ist die elektromagnetische Feldstärke die Krümmung der Verbindung $ieA_mu$ über einem Linienbündel mit der Strukturgruppe $mathrm{U}(1)$. Die anderen nicht-gravitativen Kräfte werden in ähnlicher Weise durch die Yang-Mills-Theorie beschrieben.
Mit anderen Worten, die anderen Kräfte haben bereits eine Beschreibung, in der sie durch eine Krümmung verursacht werden, nur nicht durch die Raumzeit. Die Schwerkraft unterscheidet sich zwar von ihnen, aber sie ist nicht anders genug, um sie in gewisser Weise als „weniger real“ zu betrachten als die anderen.
Die Schwerkraft ist eigentlich eine fiktive Kraft, ähnlich wie die Zentrifugalkraft. In einem frei fallenden Bezugssystem verschwindet es. In der Allgemeinen Relativitätstheorie (GR) ist die Gravitation nur ein Ergebnis der (Differential-)Geometrie: der Raum-Zeit-Krümmung. Das inverse quadratische Gesetz ist nur die Näherung mit niedriger Energie, aber die tatsächliche Gravitationsgleichung, die aus GR abgeleitet wird, ist komplexer. Der enorme Erfolg der Newtonschen Gravitation sagt uns, dass jedes Gravitationsmodell bei niedrigen Energien durch das klassische inverse quadratische Gesetz angenähert werden muss.
Ob GR das nach (Einsteins) Design oder etwas anderem macht, ist eine Frage der persönlichen Meinung. Einstein wusste definitiv, dass er bei niedrigen Energien ungefähr die Newtonsche Gravitation erreichen musste, also hätte er alle Ideen verworfen oder modifiziert, die dieses Kriterium nicht erfüllten. Es gibt jedoch Standardargumente dafür, warum die Gravitation zumindest in Situationen mit niedriger Energie einem inversen quadratischen Gesetz gehorchen muss.
Jetzt trägt in GR viel mehr als nur Masse zum Gravitationsfeld bei. Spin und elektrische Ladung zum Beispiel und ganz wichtig: Energie (das berühmte $E=mc^2$ sagt uns, wie man eine Masse als Energie ausdrückt, damit wir diese Dinge auf einer gemeinsamen Grundlage behandeln können). Also, ja, alle Kräfte und Teilchen tragen zur Schwerkraft bei. Sogar Photonen.
GR selbst macht keine Vorhersagen (oder Anforderungen) für die Existenz irgendwelcher neuer Teilchen außerhalb des Standardmodells, wie zum Beispiel Gravitonen. GR und Quantenmechanik (QM) sind bekanntlich nicht kompatibel: In Extremsituationen, in denen sowohl GR als auch QM relevant sind (z. B. Neutronensterne und die Bildung schwarzer Löcher), machen sie ziemlich schnell keinen Sinn mehr. Vor allem GR. "Gravitonen" und verschiedene Variationen sind hypothetische Teilchen, die vorgeschlagen werden, um dieses Problem durch die Erstellung einer Quantentheorie der Gravitation zu lösen. Der einzige "Beweis", den wir derzeit für sie haben, ist, dass unsere beiden erfolgreichsten Theorien über die Funktionsweise des Universums, GR und QM, so schmerzlich unvereinbar sind. Wir wissen also, dass diese Theorien fehlerhaft sind (auch bekannt als falsch) und dass eine andere Theorie erforderlich ist, die diese Situationen bewältigen kann, während sie gleichzeitig alle Erfolge von QM und GR einbezieht – sie sind erstaunlich genau, wenn nur eine von ihnen besonders relevant ist. Letztendlich.
Genau diese Theorie ist ist ein laufendes und bedeutendes Forschungsgebiet.
Erstens ist die Tatsache, dass die Schwerkraft von $1/r^2$ abfällt, in der Metrik sichtbar.
Die Metrik beschreibt die Krümmung des Raumes. Für den Raum um ein massives Objekt ist dies die Schwarzchild-Metrik
$$ mathrm{d}s^2 = -left(1-frac{r_s}{r} ight)mathrm{d}t^2 + left(1-frac{r_s}{r} ight)^{-1}mathrm{d}r^2 + r^2(mathrm{d} heta^2 + sin^2 hetamathrm{d}phi^2) $$
Klar, wenn $r gg r_s$ so aussieht
$$ mathrm{d}s^2=-mathrm{d}t^2+mathrm{d}r^2+r^2(mathrm{d} heta^2 + sin^2 heta mathrm{d}phi^2) $$ was die Metrik für den flachen Raum ist. So effektiv wird der Raum mit einer Rate von $1/r^2$ flacher und flacher, was das inverse Quadrat ist, nach dem Sie suchen.
Aber woher kommt die Schwarzchild-Metrik? Ohne in die grobe Mathematik einzusteigen, kann bewiesen werden, dass es die einzigartige Metrik ist, die sphärische Symmetrie besitzt, ohne die nichts viel Sinn machen würde. Dies wird als Satz von Birkhoff bezeichnet.
Der kleine nachträgliche Gedanke zu deiner Frage erfordert etwas mehr Nachdenken
Ich möchte darüber sprechen, woher Gravitonen kommen, aber lassen Sie uns zuerst über die Krümmung sprechen.
Wenn Sie die Krümmung eines Raums messen möchten, besteht eine Möglichkeit darin, sich in einer geschlossenen Schleife zu bewegen und wieder dort zu landen, wo Sie begonnen haben. Wenn der Raum jedoch gekrümmt ist, blicken Sie nicht in dieselbe Richtung (diese Idee wird als Paralleltransport bezeichnet).
Nehmen wir an, wir transportieren einen Tangentenvektor parallel, wie im Bild. Wir erhalten einen Tangentenvektor aus der Ableitung an einem Punkt (eine etwas spezielle Ableitung, die als kovariante Ableitung bezeichnet wird, weil der Raum gekrümmt ist). Nehmen wir den Tangentenvektor und bewegen uns vorwärts und dann nach links. Und wir versuchen es noch einmal, diesmal nach links und dann nach vorne. Wir enden in beiden Richtungen am selben Punkt, aber wie im Bild werden die Ableitungen in irgendeiner Weise unterschiedlich sein. Wir fassen dies mit einem Kommutator (wobei $D$ die kovariante Ableitung ist) wie folgt zusammen
$$ [D_mu,D_ u] = D_mu D_ u - D_ u D_mu eq 0 $$ Es bedeutet im Grunde "es auf die eine Weise zu tun ist nicht dasselbe wie auf die andere".
Lassen Sie uns nun ein kleines bisschen zurückgehen und darüber sprechen, wie Elektromagnetismus und andere Kräfte typischerweise unter Verwendung der Quantenfeldtheorie diskutiert werden.
Wir beschreiben die Theorie in Form eines Lagrange-Operators, für ein Fermion (wie ein Elektron) sieht es so aus
$$ mathcal{L}=arpsi(igamma^mu D_mu-m)psi $$
Wenn ich den Körper $psi$ nehme und ihm eine Transformation $$ psi opsi'=e^{ixi(x)}psi $$ gebe, dann bleibt der Lagrange-Operator unverändert. Diese Art der Transformation gehört zu einer Gruppe namens $U(1)$. Wir sagen, dass der Lagrange-Operator $U(1)$-Symmetrie besitzt. Ist dir aufgefallen, dass dieses $D_mu$ wieder drin ist? Es ist das gleiche, ein kovariantes Derivat, auch hier in QED. Wir können es wieder mit einem Kommutator versuchen
$$ [D_mu,D_ u] = -iF_{mu u}psi $$ wobei $$ F_{mu u} = partial_mu A_ u - partial_ u A_mu $$
Daraus bilden wir die vollständige QED (die Quantentheorie der Elektrodynamik) Lagrangeian $$ mathcal{L}=arpsi(igamma^mu D_mu-m)psi-frac{1}{4 }F_{mu u}F^{mu u} $$
Verzetteln Sie sich nicht in der Mathematik. Der Punkt ist ganz einfach. Siehe das $A_mu$? Es ist ein neues Feld, wir mussten es einführen, damit die Dinge funktionieren. In der QED entspricht dieses Feld einem Photon (Teilchen sind Quanten eines Feldes, wie eine kleine Erhebung im Feld). Wir mussten es vorstellen weil wir Krümmung hatten. Woher weiß ich, dass wir eine Krümmung haben? Da die kovarianten Ableitungen nicht kommutieren, genau wie in GR, oben. Diesmal ist die Krümmung jedoch nicht vom physischen Raum, sondern von einem abstrakten Objekt namens $U(1)$-Eichbündel.
Sie liegen also auf dem richtigen Weg, wenn Sie sagen, dass andere Kräfte den Raum krümmen können. Es ist schön, dass die Schwerkraft die Raumzeit krümmt, es ist sehr physikalisch und leicht vorstellbar, denn die anderen Kräfte sind nicht so einfach vorzustellen, obwohl es im Grunde gleich ist.
Wie auch immer, zurück zu GR
Wenn Sie ein vollständiges Bild von Einsteins Gravitation haben möchten, machen Sie einige Mathematik und gelangen zu etwas, das als Einstein-Hilbert-Aktion bezeichnet wird (eine Aktion ist nur ein Integral über einem Lagrange-Operator), ein sauberes Objekt, das die gesamte Theorie zusammenfasst
$$ S=int R sqrt{g} mathrm{d}^4x $$ wobei $R$ (mehr oder weniger) vom Kommutator der kovarianten Ableitung kommt, den wir oben gesehen haben. Als ich über QED sprach, strich ich über die Tatsache, dass es sich um eine Quantentheorie handelt (ist sie). Diese EH-Wirkung beschreibt jedoch keine Quantentheorie. Also, könnte man sagen, lasst es uns zu einem machen! Warte eine Sekunde, denn es funktioniert nicht wirklich. Das Problem ist etwas, das Renormierbarkeit genannt wird - QED ist renormierbar, GR nicht. Dies ist die Wurzel der Inkompatibilität zwischen GR und Quantenfeldtheorie. Wenn wir das resultierende Quantum-Teilchen ausführen könnten, wäre es ein Graviton. Sie haben Recht, an ihrer Existenz zu zweifeln, da sie jedoch noch nicht beobachtet wurden ...
Zwei Versionen derselben Sache
Wir sahen QED, die Lichtteilchen, Photonen, beschreibt. Sie sind quantisiert. Dann haben wir gesehen, dass GR und QED in vielerlei Hinsicht sehr ähnlich sind. Wir können GR nicht richtig quantisieren, aber wenn wir könnten, hätten wir Gravitonen, genau wie Photonen, die in der QED herausgesprungen sind. Die Dualität zwischen QED (und anderen Eichtheorien, QCD usw.) ist klar, was viele Leute glauben lässt, dass Gravitonen wahrscheinlich sein sollten, auch wenn sie noch nicht beobachtet oder konsistent formuliert wurden.
Eine Anmerkung zu anderen Theorien
Es gibt viele Theorien, in denen Gravitonen von Grund auf ohne die Probleme der Renormierbarkeit, Stringtheorie oder Supergravitation vorhanden sind.
Ein Hinweis zu Fehlern oben
Entschuldigung, ich bin müde und schweife ab. Bitte weisen Sie darauf hin, wenn Sie sie finden!
